Nowy

Jak obliczyć oczekiwaną wartość

Jak obliczyć oczekiwaną wartość


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Jesteś na karnawale i widzisz grę. Za 2 USD rzucasz standardową sześciościenną kostką. Jeśli podana liczba to sześć, wygrywasz 10 USD, w przeciwnym razie nic nie wygrywasz. Jeśli próbujesz zarabiać pieniądze, to czy gra leży w twoim interesie? Aby odpowiedzieć na takie pytanie, potrzebujemy pojęcia oczekiwanej wartości.

Oczekiwaną wartość można naprawdę traktować jako średnią zmiennej losowej. Oznacza to, że jeśli wielokrotnie przeprowadzałeś eksperyment prawdopodobieństwa, śledząc wyniki, oczekiwana wartość jest średnią wszystkich uzyskanych wartości. Oczekiwana wartość jest tym, czego powinieneś się spodziewać w długim okresie wielu prób gry losowej.

Jak obliczyć oczekiwaną wartość

Wspomniana wyżej gra karnawałowa jest przykładem dyskretnej zmiennej losowej. Zmienna nie jest ciągła i każdy wynik przychodzi do nas w liczbie, którą można oddzielić od innych. Aby znaleźć oczekiwaną wartość gry, która ma wyniki x1, x2,… , xn z prawdopodobieństwami p1, p2,… , pnobliczyć:

x1p1 + x2p2 +… + xnpn.

W powyższej grze istnieje prawdopodobieństwo 5/6, że nic nie wygrasz. Wartość tego wyniku wynosi -2, ponieważ wydałeś 2 $ na grę. Szóstka ma prawdopodobieństwo pojawienia się 1/6, a ta wartość daje wynik 8. Dlaczego 8, a nie 10? Ponownie musimy wziąć pod uwagę 2 $, które zapłaciliśmy, aby grać, a 10-2 = 8.

Teraz podłącz te wartości i prawdopodobieństwa do formuły oczekiwanej wartości i otrzymaj: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Oznacza to, że na dłuższą metę powinieneś spodziewać się średnio około 33 centów za każdym razem, gdy grasz w tę grę. Tak, czasami wygrasz. Ale przegrasz częściej.

Powrót do gry Carnival

Załóżmy teraz, że gra karnawałowa została nieco zmodyfikowana. Za taką samą opłatę wstępną w wysokości 2 $, jeśli pokazana liczba to sześć, wygrywasz 12 $, w przeciwnym razie nic nie wygrasz. Oczekiwana wartość tej gry to -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Na dłuższą metę nie stracisz żadnych pieniędzy, ale nie wygrasz. Nie oczekuj gry z tymi liczbami na lokalnym karnawale. Jeśli na dłuższą metę nie stracisz żadnych pieniędzy, wtedy karnawał ich nie zarobi.

Oczekiwana wartość w kasynie

Teraz zwróć się do kasyna. W taki sam sposób jak poprzednio możemy obliczyć oczekiwaną wartość gier losowych, takich jak ruletka. W Stanach Zjednoczonych koło ruletki ma 38 ponumerowanych miejsc od 1 do 36, 0 i 00. Połowa z 1-36 jest czerwona, połowa jest czarna. Zarówno 0, jak i 00 są zielone. Piłka losowo ląduje w jednym z miejsc, a zakłady są stawiane w miejscu, w którym piłka wyląduje.

Jednym z najprostszych zakładów jest postawienie na czerwony. Tutaj, jeśli postawisz 1 $, a kulka wyląduje na czerwonym numerze w kole, wygrasz 2 $. Jeśli piłka wyląduje na czarnym lub zielonym polu w kole, nic nie wygrasz. Jaka jest oczekiwana wartość zakładu takiego jak ten? Ponieważ jest 18 czerwonych pól, prawdopodobieństwo wygranej wynosi 18/38, a zysk netto wynosi 1 $. Istnieje prawdopodobieństwo 20/38 utraty początkowej stawki 1 $. Oczekiwana wartość tego zakładu w ruletce wynosi 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, czyli około 5,3 centów. Tutaj dom ma niewielką przewagę (jak we wszystkich grach kasynowych).

Oczekiwana wartość i loteria

Jako kolejny przykład rozważ loterię. Chociaż miliony można wygrać za cenę 1 USD, oczekiwana wartość gry loteryjnej pokazuje, jak niesprawiedliwie jest skonstruowana. Załóżmy, że za 1 USD wybierzesz sześć liczb od 1 do 48. Prawdopodobieństwo prawidłowego wyboru wszystkich sześciu liczb wynosi 1/12 27 271 512. Jeśli wygrasz milion dolarów za poprawne wytypowanie wszystkich sześciu, jaka jest oczekiwana wartość tej loterii? Możliwe wartości to - 1 $ za przegraną i 999,999 $ za wygraną (ponownie musimy wziąć pod uwagę koszt gry i odjąć to od wygranych). To daje nam oczekiwaną wartość:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Jeśli więc grasz w loterię raz za razem, na dłuższą metę tracisz około 92 centów - prawie całą cenę biletu - za każdym razem, gdy grasz.

Ciągłe zmienne losowe

Wszystkie powyższe przykłady dotyczą dyskretnej zmiennej losowej. Możliwe jest jednak zdefiniowanie wartości oczekiwanej również dla ciągłej zmiennej losowej. W tym przypadku musimy jedynie zastąpić sumę w naszym wzorze całką.

Po długim biegu

Należy pamiętać, że oczekiwana wartość jest średnią po wielu próbach losowego procesu. W krótkim okresie średnia zmiennej losowej może znacznie różnić się od wartości oczekiwanej.


Obejrzyj wideo: Rozkład zmiennej , wartość oczekiwana,odchylenie Random variable distribution. (Grudzień 2022).

Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos